Analytic solutions to a strongly nonlinear Vlasov equation

We prove the existence for short times of analytic solutions to a Vlasov type equation. The corresponding model is one-dimensional but uses a quite singular force term which involves a full derivative in x of the macroscopic density, making the existence of solutions a difficult question. Résumé. Nous démontrons l’existence en temps petit de solution analytique à une équation de type Vlasov. Le modèle considéré est mono-dimensionnel mais le terme de force correspondant fait intervenir une dérivée complète de la densité macroscopique. Ceci rend la question de l’existence de solution particulièrement délicate. Version française abrégée. Le but de cette note est de démontrer l’existence de solutions analytiques en temps petit pour l’équation cinétique ∂tf + v∂xf − ∂x (∫ f(t, x, v) dv ) ∂vf = 0, t ≥ 0, x, v ∈ R, f(t = 0, x, v) = fi(x, v). (1) Cette équation peut être obtenue à partir de modèles de plasma sans collision, sous certaines asymptotiques. Nous renvoyons à [3] et [6] et aux références que ces deux articles citent pour une présentation plus détaillée de la dérivation de cette équation. L’équation (1) est de type Vlasov et hamiltonienne. A l’inverse du modèle plus classique de Vlasov-Poisson où l’énergie potentielle dans le hamiltonien présente un gain de deux dérivées par rapport à la densité macroscopique, ici il n’existe aucun gain en dérivée. Même en dimension 1, (1) est donc particulièrement singulière, deux ordres de plus que Vlasov-Poisson et un ordre de plus que Vlasov-Maxwell. Il est désormais bien connu comment prouver l’existence de solutions fortes ou classiques pour le système de Vlasov-Poisson, même en dimension 3. Parmi de nombreuses contributions importantes, nous renvoyons plus spécifiquement à [1] pour des données initiales petites, à [9], [11], [12] pour des données quelconques en temps grand et à [2] pour le cas analytique. Dans le cas plus singulier de Vlasov-Maxwell, l’existence de solutions classiques est connue en temps E-mail addresses: [email protected] (P.E. Jabin), [email protected] (A.Nouri). 2000 Mathematics Subject Classification. 41A60, 76P05, 82A70, 78A35.